«Множество раз уже было замечено, что мозг мыслящего человека не превышает по своим размерам мозг дикаря; между ними нет ничего похожего на ту разницу, какая существует между их умственными способностями. Причина этого явления кроется в том, что мозг Герберта Спенсера имел немногим больше работы, чем мозг австралийца, так как Спенсер в характеризующей его умственной работе оперировал все время при посредстве знаков для выкладок, которые заменили ему понятия, в то время как дикарь совершает всю или почти всю свою умственную работу при помощи громоздких представлений. Дикарь в этом случае находится в положении астронома, делающего вычисления при помощи арифметики, Спенсер же – в положении астронома, оперирующего при помощи алгебры»[163] .
Всякоеалгебраическое представление может быть интерпретировано методомгеометрическим . Этот способ исследования столь естественно близок человеческому духу, что, как известно, даже в чистой математике геометрический анализ родился многими веками ранее анализа алгебраического[164] .Всякий геометрический метод имеет то преимущество, что он обладает свойством наглядности, благодаря которому человек может все время следить за верностью своих построений . Наоборот, метод алгебраический требует от человека большой способности мыслить вполне отвлеченно, что неизмеримо более трудно и является доступным лишь наиболее развитым умам.
Все наши представления о величинах и протяжениях так или иначе связаны с непосредственно познаваемым трехмерным пространством. При помощи отвлеченных формул математики мы хотя и можем иметь абстрактные представления о пространствах, обладающих иными свойствами[165] , – как, например, пространства Лобачевского и Римана (где, например, кратчайшим расстоянием между двумя точками является не прямая, а кривая, проецируемая в наше пространство в виде трактрисы), – но для нашего разума все это остается пустым звуком. Имея дело с реальными геометрическими протяжениями, поверхностями и объемами, мы всегда мыслим их в трехмерном пространстве Эвклида. Переходя к решению отвлеченных проблем методом геометрии, мы хотя и будем пользоваться ее фигурами, но эти фигуры теперь будут иметь уже иной смысл и иное значение; здесь они представляют собой лишь пространственную интерпретацию сущности, которая сама по себе лежит в другом мире. Вследствие этого пространство, в котором мы совершаем эти построения, по самой своей природе отлично от пространства геометрического; это пространство я называюметафизическим пространством . Вполне понятно, что Эвклидова теория для такого пространства может быть, а может и не быть актуальной, т. е. не иметь своей силы; кроме того, протяжения по различным координатам в нем могут иметь различные значения и наименования[166] . По ходу предстоящего исследования мы будем широко пользоваться геометрическим методом анализа философских вопросов посредством интерпретации их в метафизическом пространстве, наделяемом соответственно теми или иными свойствами в зависимости от продуктивности, которой при их привлечении обеспечивалось бы исследование той или иной конкретной проблемы. Наряду с геометрическим мы будем также применять и чисто алгебраический метод решения отвлеченных проблем.